Question

定義在區(qū)間[2，4]上的函數(shù)f（x）=3^x-m（m是實(shí)常數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），則函數(shù)F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域?yàn)椋?）
A．[2，5]
B．[1，+∞）
C．[2，10]
D．[2，13]

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（2，1）求出m的值，從而求出f（x），然后求出反函數(shù)f^-1（x），求出F（x）的解析式和定義域，然后求出值域即可．
解答：解：根據(jù)函數(shù)f（x）=3^x-m（m是實(shí)常數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），
可知f（2）=3^2-m=1，解得m=2
∴f（x）=3^x-2
f^-1（x）=2+log₃x  （x∈[1，9]）
f^-1（x²）=2+2log₃x  （x∈[1，3]）
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=（2+log₃x ）²-2-2log₃x 
=（log₃x ）²+2log₃x+2  （log₃x∈[0，1]
∴F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域?yàn)閇2，5]
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，以及利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域，注意定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．