Question

過點(diǎn)（a，0）（a＞0）的直線與拋物線y²=4x交于A，B兩點(diǎn)，在拋物線的準(zhǔn)線x=-1上存在一點(diǎn)C，使得

CA

•

CB

最小時(shí)，a的值為（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、與直線的斜率有關(guān)

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意設(shè)直線方程為x=ky+a，代入拋物線y²=4x，設(shè)C（-1，t），利用韋達(dá)定理可可得

CA

•

CB

，利用配方法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，設(shè)直線方程為x=ky+a，代入拋物線y²=4x，可得y²-4ky-4a=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4a，
設(shè)C（-1，t），則得

CA

•

CB

=（x₁+1，y₁-t）•（x₂+1，y₂-t）=（x₁+1）（x₂+1）+（y₁-t）（y₂-t）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=

1

16

y₁²y₂²+

1

4

（y₁²+y₂²）+1+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=（a-1）²+（2k-t）²，
∴a=1，2k=t時(shí)，

CA

•

CB

最小為0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．