Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（cosα，sinα），設(shè)

m

=

a

+t

b

（t為實數(shù)）．
（Ⅰ）若α=

π

4

，求當(dāng)|

m

|取最小值時實數(shù)t的值；
（Ⅱ）若

a

⊥

b

，問：是否存在實數(shù)t，使得向量

a

-

b

和向量

m

的夾角為

π

4

，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若

a

⊥

m

，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由模長公式可得，|

m

|²=（

a

+t

b

）²=5+t²+2t

a

•

b

=t²+3

2

t+5=（t+

3 2

2

）²+

1

2

，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得．
（Ⅱ）由條件得cos45°=

( a - b )•(a+t b )

| a - b ||a+t b |

，利用向量的運算，建立關(guān)于t的方程求解．
（Ⅲ）

a

•

m

=0，即5+t（cosα+2sinα）=0，利用三角函數(shù)公式即三角函數(shù)的有界性求解．

解答： 解：（I）因為α=

π

4

，

b

=（cosα，sinα）=（

2

2

2

2

），

a

•

b

=

3 2

2

，
則|

m

|²=（

a

+t

b

）²=5+t²+2t

a

•

b

=t²+3

2

t+5=（t+

3 2

2

）²+

1

2

所以當(dāng)t=-

3 2

2

時，|

m

|²取到最小值

1

2

，|

m

|取到最小值為

2

2

．
（Ⅱ）由條件得cos45°=

( a - b )•(a+t b )

| a - b ||a+t b |

，若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，
又因為

| a - b |2= a 2+ b 2=5+1=6，|a+t b |2= a 2+t2 b 2=5+t2

所以|

a

-

b

|=

6，

|a+t

b

|=

5+t2

，
(

a

-

b

)•(a+t

b

)=5-t，
則有

5-t

6 5+t2

=

2

2

，且t＜5，
整理得t²+5t-5=0，所以存在t=

-5±3 5

2

滿足條件．
（3）

m

=（1+tcosα，2+tsinα），

a

⊥

m

?

a

•

m

=0，
即5+t（cosα+2sinα）=0
即5+

5

tsin（α+φ）=0，
由上式sin（α+φ）≠0，∵|tsin（α+φ）|≤1，∴|t|≥

5

，∴t≥

5

或t≤-

5

．

點評：本題是向量與三角的結(jié)合，考查向量的運算，三角函數(shù)公式的應(yīng)用，是典型題目．