Question

（2012•閘北區(qū)二模）設(shè)橢圓C：x²+2y²=2b²（常數(shù)b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，M，N是直線l：x=2b上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

F1M

•

F2N

=0．
（1）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求b的值；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（2b，y₁），N（2b，y₂），根據(jù)橢圓方程得到橢圓左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

F1M

、

F2N

的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和向量模的公式建立關(guān)于b、y₁、y₂的方程組，消去y₁、y₂，可得正數(shù)b的值．
（2）由（1）設(shè)的坐標(biāo)，得|MN|=|y₁-y₂|，將其平方再用基本不等式，即可得到當(dāng)且僅當(dāng)y₁、y₂互為相反數(shù)且其中一個(gè)為

3

b時(shí)，|MN|²的最小值為12b²，由此得到|MN|的最小值．

解答：解：設(shè)M（2b，y₁），N（2b，y₂）…（1分）
∵橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，∴橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），
由此可得：

F1M

=(3b，y1)，

F2N

=(b，y2)，
∵

F1M

•

F2N

=0，∴3b•b+y₁y₂=0，得y1y2=-3b2①…（3分）
（1）由|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

(3b)2+ y 2 1

=2

5

…②，

b2+ y 2 2

=2

5

③…（5分）
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，可得b=

2

． …（8分）
（2）∵M(jìn)（2b，y₁），N（2b，y₂），
∴|MN|2=(y1-y2)2=

y

2 1

+

y

2 2

-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=12b2，（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)y1=-y2=

3

b或y2=-y1=

3

b時(shí)，|MN|取最小值2

3

b． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．