Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ⁺¹．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）若b_n=

1

2

n•a_n，求數(shù)列{b_n•a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=3²=9，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2•3ⁿ．由此能求出a_n=

9，n=1 2•3n，n≥2

．
（2）b_n=

1

2

n•a_n=

9 2 ，n=1 n•3n，n≥2

，由此能求出數(shù)列{b_n•a_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ⁺¹，
∴a₁=S₁=3²=9，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2•3ⁿ．
當(dāng)n=1時(shí)，2•3ⁿ=6≠a₁，
∴a_n=

9，n=1 2•3n，n≥2

．
（2）b_n=

1

2

n•a_n=

9 2 ，n=1 n•3n，n≥2

，
∴b_n•a_n=

81 2 ，n=1 2n•9n，n≥2

，
設(shè)數(shù)列{b_n•a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
n=1時(shí)，Sn=

81

2

；
n≥2時(shí)，S_n=

81

2

+4•92+6•93+…+2n•9n，①
9S_n=

729

2

+4•93+6•94+…+2n•9n+1．②
①-②，得-8S_n=-

648

2

+182+2（9²+9³+…+ⁿ）-2n•9ⁿ⁺¹
=-142+2×

81(1-9n-1)

1-9

-2n•9ⁿ⁺¹
=-142+

9n-1

4

-

81

4

-2n•9ⁿ⁺¹．
∴S_n=

71

4

+

81

32

-

9n-1

32

+

2n•9n+1

8

=

n•9n+1

4

-

9n-1

32

+

649

32

．
∴Sn=

81 2 ，n=1 n•9n+1 4 - 9n-1 32 + 649 32 ，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．