Question

（理科）點(diǎn)P在拋物線y²=4x上，
（1）若點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與其到焦點(diǎn)的距離相等，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得x的值，代入拋物線方程求得y值，即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先設(shè)直線y=x+t是拋物線的切線，最小距離是兩直線之間的距離，于拋物線方程聯(lián)立消去y，再根據(jù)判別式等于0求得t，代入方程求得x，進(jìn)而求得y，答案可得．

解答： 解：（1）∵拋物線方程為y²=4x，
∴焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1
設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），作PQ⊥l于Q
根據(jù)拋物線定義可知P到準(zhǔn)線的距離等于P、Q的距離
即x+1=5，解之得x=4，
代入拋物線方程求得y=±4
故點(diǎn)P坐標(biāo)為：（4，±4）
（2）設(shè)直線y=x+t是拋物線的切線，最小距離是兩直線之間的距離，
代入化簡(jiǎn)得x²+（2t-4）x+t²=0
由△=0得t=1
代入方程得x=1，y=1+3=4
∴P為（1，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．在涉及焦點(diǎn)弦和關(guān)于焦點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)常用拋物線的定義來(lái)解決．