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精英家教網如圖,平面ABCD⊥平面ABE,其中四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,且AB=2,點F、G分別是BC、AE的中點.
(Ⅰ)求三棱錐F-ABE的體積;
(Ⅱ)求證:BG∥平面EFD;
(Ⅲ)若點P在線段DE上運動,求證:BG⊥AP.
分析:(Ⅰ)說明BF是三棱錐F-ABE的高,求出底面ABE的面積,即可求出體積;
(Ⅱ)取DE中點M,連接MG、FM,要證BG∥平面EFD,只需證明平面EFD外的直線BG,平行平面EFD內的直線FM即可.
(Ⅲ)點P在線段DE上運動,證明BG垂直平面DAE內的兩條相交直線AD,AE,即可證明BG⊥平面DAE,從而證明BG⊥AP.
解答:精英家教網解:(Ⅰ)因為平面ABCD⊥平面ABE,且ABCD是正方形,所以BC⊥平面ABE,
因為G是等邊三角形ABE的邊AE的中點,所以BG⊥AE,(2分)
所以VF-ABE=
1
3
S△ABE•BF=
1
3
×
1
2
AE•BG•BF
=
1
6
× 2×
3
×1 =
3
3

(Ⅱ)取DE中點M,連接MG、FM,
因為MG=
1
2
AD,BF=
1
2
AD,所以MG=BF,
四邊形FBGM是平行四邊形,所以BG∥FM.(6分)
又因為FM?平面EFD,BG?平面EFD,
所以BG∥平面EFD.(8分)
(Ⅲ)因為DA⊥平面ABE,BG?平面ABE,所以DA⊥BG.(9分)
又BG⊥AE,AD∩AE=A,
所以BG⊥平面DAE,又AP?平面DAE,(11分)
所以BG⊥AP.(12分)
點評:本題主要考查直線與平面的位置關系,考查空間想像能力,推理論證能力和運算求解能力.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=
12
AD=a,G是EF的中點,
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如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=
12
AD=a
,G是EF的中點.
(1)求證:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求二面角B-AC-G的大。

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(2)求直線BE與平面ACG所成角的正弦值.

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精英家教網如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AF=
1
2
AD=a,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為(  )

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精英家教網如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AF=
3
2
AD
,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為(  )
A、
6
6
B、
21
6
C、
7
7
D、
21
7

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