已知點(diǎn)A(x1,y1)在圓(x-2)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A不與(0,0)重合,點(diǎn)B(4,y0)在直線x=4上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足數(shù)學(xué)公式.動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為F(x,y)=0.
(1)試用點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y表示y0,x1,y1
(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程F(x,y)=0;
(3)以下給出曲線C的五個(gè)方面的性質(zhì),請(qǐng)你選擇其中的三個(gè)方面進(jìn)行研究,并說(shuō)明理由.(若你研究的方面多于三個(gè),我們將只對(duì)試卷解答中的前三項(xiàng)予以評(píng)分)
①對(duì)稱性;
②頂點(diǎn)坐標(biāo)(定義:曲線與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為該曲線的頂點(diǎn));
③圖形范圍;
④漸近線;
⑤對(duì)方程F(x,y)=0,當(dāng)y≥0時(shí),函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.

解:(1)由題得:=(x,y).=(4,y0).=(4-x1,y0-y1).

?
(2)∵點(diǎn)A(x1,y1)在圓(x-2)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),
∴(x1-2)2+y12=4?=4.
=4.
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為=4.
整理得(x-4)()=0?x=4或x3+xy2-4y2=0.
因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí),A的坐標(biāo)為(0,0),與題中條件相矛盾.
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是:x3+xy2-4y2=0.
(3)①關(guān)于X軸對(duì)稱,
將方程中的(x,y)換成(x,-y),方程形式不變,故關(guān)于X軸對(duì)稱;
②頂點(diǎn)為(0,0),
在方程中,令y=0得x=0;故曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0);
③圖象范圍是:0≤x<4,y∈R.
≥0得0≤x<4,y∈R.
④直線x=4是曲線的漸近線,
∵0≤x<4,,當(dāng)x→4時(shí),y→∞,
故直線x=4是曲線的漸近線.
分析:(1)先求出:=(x,y).=(4,y0).=(4-x1,y0-y1).再由條件得∴即可解出示y0,x1,y1;
(2)把所求的點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓(x-2)2+y2=4中,整理即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程F(x,y)=0;
(3)①先將方程中的(x,y)換成(x,-y),方程形式不變,得關(guān)于X軸對(duì)稱;
②令y=0得x=0;得曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0);
③把軌跡方程F(x,y)=0整理锝,因?yàn)槠椒綌?shù)大于等于0得0≤x<4,y∈R,
④0≤x<4,,當(dāng)x→4時(shí),y→∞,可得直線x=4是曲線的漸近線.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及軌跡方程的求法,本題的難點(diǎn)在于對(duì)軌跡方程的整理,屬于一道難題.
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已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),向量
OA
OB
滿足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|
,設(shè)圓C的方程為x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
(1)證明線段AB是圓C的直徑;
(2)當(dāng)圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為
2
5
5
時(shí),求p的值.

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已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓L:
x2
18
+
y2
9
=1
上不同的兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(2,
1)

(1)求直線AB的方程;
(2)若線段AB的垂直平分線與橢圓L交于點(diǎn)C、D,試問(wèn)四點(diǎn)A、B、C、D是否在同一個(gè)圓上,若是,求出該圓的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)y=sinx(-π<x<0)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn),且x1<x2,給出下列不等式:
①sinx1<sinx2
sin
x1
2
<sin
x2
2
;
1
2
(sinx1+sinx2)>sin
x1+x2
2
;
sinx1
x1
sinx2
x2

其中正確不等式的序號(hào)是
②③
②③

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已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且OA⊥OB,設(shè)圓C的方程為x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
(1)證明:圓C是以線段AB為直徑的圓;
(2)當(dāng)圓心C到直線x-2y=0的距離的最小值為
5
時(shí),求P的值.

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已知點(diǎn)A (x1,y1);B(x2,y2)是定義在區(qū)間M上的函數(shù)y=f(x)的圖象任意不重合兩點(diǎn),直線AB的斜率總小于零,則函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間M上總是(  )

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