Question

（本小題滿(mǎn)分15分） 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切，橢圓 的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)直線(xiàn)與軌跡在處的切線(xiàn)平行，且直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在著這樣的直線(xiàn)使得的面積等于？如果存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）軌跡的方程，橢圓的方程為．（Ⅱ）的面積等于的直線(xiàn)不存在．

解析試題分析：（Ⅰ）設(shè)過(guò)圓心作直線(xiàn)直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，由題意得，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等．由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為． ------3分
設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)代入方程得，
整理得，解得或（舍去）．
故所求橢圓的方程為．------------------------6分
（Ⅱ）軌跡的方程為即，則，---------------7分
所以軌跡在處的切線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)的斜率為， 假設(shè)符合題意的直線(xiàn)方程為． --------8分
代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，，，，，-----------------9分
故，------------------------10分
又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是， --------------------11分
故-------------------13分
當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)（滿(mǎn)足）．--------------14分
此時(shí)的面積等于，
所以的面積等于的直線(xiàn)不存在．--------------15分
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；軌跡方程的求法；直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線(xiàn)的定義條件。