Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線(xiàn)（ ）
A．有且僅有一條
B．有且僅有兩條
C．有無(wú)窮多條
D．不存在

Answer 1

【答案】分析：過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，先看直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，求得橫坐標(biāo)之和等于2，不符合題意；進(jìn)而設(shè)直線(xiàn)AB為y=k（x-1）與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求得k．得出結(jié)論．
解答：解：過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，
若直線(xiàn)AB的斜率不存在，則橫坐標(biāo)之和等于2，不適合．
故設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k，則直線(xiàn)AB為y=k（x-1）
代入拋物線(xiàn)y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5，
∴，
則這樣的直線(xiàn)有且僅有兩條，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的應(yīng)用．解題的時(shí)候要注意討論直線(xiàn)斜率不存在時(shí)的情況，以免遺漏．