Question

已知定義域為R的函數y=f（x）在[0，7]上只有l(wèi)和3兩個零點，且y=f（2-x）與y=f （7+x）都是偶函數，則函數y=f（x）在[0，2013]上的零點個數為（　�。�

• A、402
• B、403
• C、404
• D、405

Answer 1

考點：函數的周期性,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據y=f（2-x）與y=f （7+x）都是偶函數，得到函數f（x）=f（10+x）即函數是周期函數，利用函數的周期性即可得到函數零點的個數．

解答： 解：∵y=f（2-x）與y=f （7+x）都是偶函數，
∴f（2-x）=f（2-x），f （7+x）=f（7-x），
即f（x）關于x=2和x=7對稱．
∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（4-x）=f（x），
∵f（7-x）=f（7+x），
∴f（4-x）=f（10+x） 
∴f（x）=f（10+x），
即10是函數f（x）的一個周期
∵f（7-x）=f（7+x），
函數f（x）在[4，7]上無根．
∴函數f（x）在[7，10]上無根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有兩根為1和3，
f（x）=0的根為10n+1或10n+3的形式 
∴0≤10n+1≤2013，解得0≤n≤201.2，共202個 
∴0≤10n+3≤2013，解得0≤n≤201，共202個 
∴方程f（x）=0在閉區(qū)間[0，2013]上根的個數為404個．
故選：C．

點評：本題主要考查函數零點的個數的判斷，利用函數的奇偶性得到函數的周期性是解決本題的關鍵，綜合考查函數性質的應用．