Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx，利用和角公式，以及二倍角公式，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）利用周期公式直接求出f（x）的最小正周期；
（2）利用y=sinx的單調(diào)增區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間即可；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，求出2x+

π

3

的范圍，然后求出2sin（2x+

π

3

）的范圍就是 求f（x）的值域．

解答：解：f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

（sinx）²+sinxcosx=2cosx（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）-

3

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=sinxcosx+

3

1-cosx

2

-

3

2

+

3

cos2x

2

+

sin2x

2

=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
（1）因為T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π，所以函數(shù)的最小正周期是π．
（2）y=sinx的單調(diào)增區(qū)間是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]k∈Z，則函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
即：2sin（2x+

π

3

）的單增區(qū)間：2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
解得x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（3）x∈[0，

π

4

]，則2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，所以2sin（2x+

π

3

）∈[

1

2

，1]
所以函數(shù)的值域為：[

1

2

，1]．

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．