在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=1,點E為AB的中點.求點E到平面A1DC1的距離.
分析:以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系,可得D、E、A1、C1各點的坐標,從而算出的坐標
DA1
、
DC1
DE
的坐標,利用垂直的向量數(shù)量積為零的方法算出
n
=(-1,-
1
2
,1)
是平面DA1C1的一個法向量,再利用點到平面的距離公式,即可算出點E到平面A1DC1的距離.
解答:解:以D為坐標原點,DA、DC、DD1依次為x、y、z軸,
建立如圖所示空間直角坐標系,可得E(1,1,0),
A1(1,0,1),C1(0,2,1).
從而
DA1
=(1,0,1)

DC1
=(0,2,1)
,
DE
=(1,1,0)

設平面DA1C1的法向量為
n
=(x,y,z)

n
DA1
=0
n
DC1
=0
,得
x+z=0
2y+z=0

令x=1,得
n
=(-1,-
1
2
,1)

∴點E到平面A1DC1的距離為d=
|
n
DE
|
|
n
|
=
|-1×1+(-
1
2
)×1+1×0|
(-1)2+(-
1
2
)
2
+12
=1.
點評:本題給出長方體的長、寬、高,求一條棱的中點到經(jīng)過頂點截面的距離.著重考查了長方體的性質(zhì)、點到平面垂直的求法等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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3
,AD=
3
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