設函數(shù)f(x)=
a
b
,其中向量
a
=(2cosx,1)
,
b
=(cosx,
3
sin2x+m)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0,π]上的單調遞增區(qū)間.
(Ⅱ)當x∈[0,
π
6
]
時,-4<f(x)<4恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)滑進函數(shù)f(x)的解析式為 2sin(2x+
π
6
)+m+1,由此求得周期,令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求出函數(shù)的單調增區(qū)間,即可得到在[0,π]上的單調遞增區(qū)間.
(Ⅱ)當x∈[0,
π
6
]
時,求得m+2≤f(x)≤m+3,再由-4<f(x)<4恒成立,可得  m+2>-4且 m+3<4,由此求得實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=
a
b
=2cos2x+
3
sin2x+m
=cos2x+
3
sin2x+m
+1=2sin(2x+
π
6
)+m+1.
故函數(shù)f(x)的最小正周期為
2
=π.
令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,可得 kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,k∈z,故增區(qū)間為[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈z.
故在[0,π]上的單調遞增區(qū)間為[0,
π
6
]、[
3
,π].
(Ⅱ)當x∈[0,
π
6
]
時,
π
6
≤2x+
π
6
π
2
,故有
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1,故 m+2≤f(x)≤m+3.
再由-4<f(x)<4恒成立,可得  m+2>-4且 m+3<4,解得-6<m<1,
故實數(shù)m的取值范圍為(-6,1).
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的周期性及其求法,復合三角函數(shù)的單調性,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=a?b,其中向量
a
=(m,cos2x),
b
=(1+sin2x,1),x∈R,且y=f(x)的圖象經(jīng)過點(
π
4
,2)

(1)求實數(shù)m的值;
(2)求f(x)的最小正周期.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=a-
22x+1
,
(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)若不等式f(x)+a>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
(a-2)x,(x≥2)
(
1
2
)
x
 
-1,(x<2)
an=f(n)
,若數(shù)列{an}是單調遞減數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(
2
,-2)
,
b
=(sin(
π
4
+2x),cos2x)
(x∈R).設函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求f(-
π
4
)
的值;     
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(5
3
cosx,cosx)
b
=(sinx,2cosx)
,其中x∈[
π
6
π
2
]
,設函數(shù)f(x)=
a
b
+|
b
|2+
3
2

(1)求函數(shù)f(x)的值域;        
(2)若f(x)=5,求x的值.

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