Question

【題目】已知函數，過點作與軸平行的直線交函數的圖像于點，過點作圖像的切線交軸于點，則面積的最小值為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出f（x）的導數，令x＝a，求得P的坐標，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，令y＝0，可得B的坐標，再由三角形的面積公式可得△ABP面積S，求出導數，利用導數求最值，即可得到所求值．

函數f（x）＝的導數為f′（x），

由題意可令x＝a，解得y，

可得P（a，），

即有切線的斜率為k，

切線的方程為y﹣（x），

令y＝0，可得x＝a﹣1，

即B（ a﹣1，0），

在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，

則△ABP面積為S（a）|AB||AP|，a＞0，

導數S′（a），

當a＞1時，S′＞0，S（a）遞增；當0＜a＜1時，S′＜0，S（a）遞減．

即有a＝1處S取得極小值，且為最小值e．

故答案為：e．