Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷方程的根個(gè)數(shù)；

（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

【解析】

（1）首先設(shè)，求導(dǎo)得到，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到，又因?yàn)?/span>時(shí)，，，從而得到方程有兩個(gè)根.

（2）首先設(shè)，將題意轉(zhuǎn)化為，恒成立.再討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，確定，由即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）設(shè)，.

.

因?yàn)?/span>，所以.

令，解得.

當(dāng)，，為減函數(shù)，

當(dāng)，，為增函數(shù).

所以.

又因?yàn)?/span>時(shí)，，，

所以函數(shù)與軸有個(gè)交點(diǎn)，即方程有2個(gè)根.

（2）設(shè)

將題意等價(jià)于，恒成立.

，

因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)，即時(shí)，.

令，解得.

，，為減函數(shù)，

，，為增函數(shù).

，不滿足恒成立，舍去.

當(dāng)，即時(shí)，令，解得或.

①當(dāng)時(shí)，，

，在為增函數(shù)，

，不滿足恒成立，舍去.

②當(dāng)時(shí)，即.

，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù)，

，，為增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，，

所以，不滿足恒成立，舍去.

③當(dāng)時(shí)，即.

，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù)，

，，為增函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，，

因?yàn)?/span>時(shí)，恒成立，

所以，解得.

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.