在直角坐標(biāo)系xoy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,m)、N2(0,n)且mn=3.
(Ⅰ)求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程;
(Ⅱ)已知F2(1,0),設(shè)直線l:y=kx+m與(Ⅰ)中的軌跡M交于P、Q兩點(diǎn),直線F2P、F2Q的傾斜角分別為α、β,且α+β=π,求證:直線l過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(I)由直線方程的點(diǎn)斜式列出A1N1和A2N2的方程,聯(lián)解并結(jié)合mn=3化簡整理得
x2
4
+
y2
3
=1
,再由N1、N2不與原點(diǎn)重合,可得直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程;
(II)由直線l方程與(Ⅰ)中求出的方程消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程.利用根與系數(shù)的關(guān)系和直線的斜率公式,結(jié)合α+β=π化簡整理,解出m=-4k,所以直線l:y=kx+m即y=k(x-4),可得直線l過定點(diǎn)(4,0).
解答:解:(I)依題意知直線A1N1的方程為:y=
m
2
(x+2)…①;
直線A2N2的方程為:y=-
n
2
(x-2)…②
設(shè)Q(x,y)是直線A1N1與A2N2交點(diǎn),①、②相乘,得y2=-
mn
4
(x2-4)
由mn=3整理得:
x2
4
+
y2
3
=1

∵N1、N2不與原點(diǎn)重合,可得點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0)不在軌跡M上,
∴軌跡M的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
(x≠±2).
(II)由題意,可得直線l的斜率存在且不為零
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),可得x1+x2=
-8km
3+k2
且x1x2=
4m2-12
3+k2

∵α+β=π,kPF2=
kx1+m
x1-1
,kQF2=
kx2+m
x2-1
,
kPF2+kQF2=
kx1+m
x1-1
+
kx2+m
x2-1
=0,化簡得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.
即2k
4k2-12
3+k2
+(m-k)•
-8km
3+k2
-2m=0,整理得m=-4k
因此,直線l:y=kx+m即y=k(x-4),經(jīng)過定點(diǎn)(4,0).
綜上所述,直線l過定點(diǎn),該點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.
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在直角坐標(biāo)系xoy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.
(1)求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程;
(2)已知點(diǎn)A(1,t)(t>0)是軌跡M上的定點(diǎn),E,F(xiàn)是軌跡M上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率kAE與直線AF的斜率kAF滿足kAE+kAF=0,試探究直線EF的斜率是否是定值?若是定值,求出這個(gè)定值,若不是,說明理由.

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x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣東省模擬題 題型:解答題

在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,m),N2(0,n),且mn=3。
(1)求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程;
(2)已知點(diǎn)G(1,0)和G′(-1,0),點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng),現(xiàn)以P為圓心,PG為半徑作圓P,試探究是否存在一個(gè)以點(diǎn)G′(-1,0)為圓心的定圓,總與圓P內(nèi)切?若存在,求出該定圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

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(1)求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程;
(2)已知點(diǎn)A(1,t)(t>0)是軌跡M上的定點(diǎn),E,F(xiàn)是軌跡M上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率kAE與直線AF的斜率kAF滿足kAE+kAF=0,試探究直線EF的斜率是否是定值?若是定值,求出這個(gè)定值,若不是,說明理由.

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