經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F作與x軸垂直的直線l,若l交拋物線于A、B兩點,O是拋物線的頂點,則當把直角坐標平面沿x軸折成直二面角時,A、B兩點之間的距離|AB|=
 
考點:拋物線的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:設(shè)PQ的方程為:y=k(x-1),設(shè)P(x1,2
x1
),Q(x2,2
x2
 。^P作PM⊥x軸,交x軸于M點,過Q作QN⊥x軸,交x軸于N點,聯(lián)立
y=k(x-1)
y2=4x

,得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,x1+x2=
4+2k2
k2
,x1x2=1,將坐標平面沿x軸折成直二面角,折后|PQ|2=|QN|2+|PM|2+|MN|2=4(x1+x2)+(x1-x22,由此能求出翻折后線段PQ的長度最小值.
解答: 解:如圖,過點(1,0)的直線與拋物線y2=4x交于P、Q兩點,
∵拋物線y2=4x的焦點F(1,0),
∴直線PQ過F(1,0),
設(shè)PQ的方程為:y=k(x-1),
設(shè)P(x1,2
x1
),Q(x2,2
x2
 。,
過P作PM⊥x軸,交x軸于M點,|PM|=2
x1
,
過Q作QN⊥x軸,交x軸于N點,|QN|=2
x2
,
聯(lián)立
y=k(x-1)
y2=4x
,得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,
x1+x2=
4+2k2
k2
,x1x2=1,
將坐標平面沿x軸折成直二面角,得到如下圖所示的圖形,
由圖形知,折后QN⊥平面PMN,
|PQ|2=QN2+|PN|2
=|QN|2+|PM|2+|MN|2
=4(x1+x2)+(x1-x22
=4(x1+x2)+(x1+x22-4x1x2
=
16+8k2
k2
+
16+16k2+4k4
k4
-4
=8+
8
k2
+
16
k4
>8.
∴|PQ|>
8
=2
2

∴翻折后線段PQ的長度最小值等于2
2

故答案為2
2
點評:本題考查翻折后線段長度最小值的求法,解題時要認真審題,注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用.
練習冊系列答案
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