Question

1．在平面直角坐標系xOy中，已知圓O的方程為x²+y²=2
（1）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于點D，E，當(dāng)DE長最小時，求直線l的方程；
（2）設(shè)M，P是圓O上任意兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點N，若直線MP，NP分別交x軸于點（m，0）（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時，直線l的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=2，${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=2，求出直線MP、NP分別與x軸的交點，進而可求mn的值2

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1（a＞0，b＞0）$，
即bx+ay-ab=0，
由直線l與圓O相切，得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{2}$，即$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
DE²=a²+b²=2（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$）≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，
此時直線l的方程為x+y-2=0，
所以當(dāng)DE長最小時，直線l的方程為x+y-2=0．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
則N（x₁，-y₁），${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=2，${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=2，
直線MP與x軸交點（$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，0），m=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
直線NP與x軸交點（$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，0），n=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
mn=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$×$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{（2-{{y}_{1}}^{2}）{{y}_{2}}^{2}-（2-{{y}_{2}}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=2．
∴mn為定值2．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題