已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，，其導函數(shù)記為，

（1）設函數(shù),求的極大值與極小值；

(2）試求關(guān)于的方程在區(qū)間上的實數(shù)根的個數(shù)。

 

【答案】

（1）當時，極大=；當時，極小=0．；當時，極大=；無極小值

（2）對于任意給定的正整數(shù)，方程只有唯一實根，且總在區(qū)間內(nèi)，所以原方程在區(qū)間上有唯一實根

【解析】

試題分析：解：（1）令，則

，…3分

令，得，且，

當為正偶數(shù)時，隨的變化，與的變化如下：

 

0

0

 

極大值

極小值

所以當時，極大=；當時，極小=0．   4分

當為正奇數(shù)時，隨的變化，與的變化如下：

 

0

0

 

極大值

 

所以當時，極大=；無極小值．  8分

（2），即，

所以方程為，   9分

，   10分

又，由二項式定理知:

故對于，有，   13分  

綜上，對于任意給定的正整數(shù)，方程只有唯一實根，且總在區(qū)間內(nèi)，所以原方程在區(qū)間上有唯一實根．  14分

考點：函數(shù)與方程，導數(shù)

點評：主要是考查了函數(shù)的圖像與方程根的問題的求解，利用導數(shù)來判定單調(diào)性和極值，得到，屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0，f（1）=2，
（1）求f（0）；f（2）；
（2）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：f（x）是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，
（2）求證：f（x）是奇函數(shù)，
（3）舉出一個符合條件的函數(shù)y=f（x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，（x∈N*），其導函數(shù)記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數(shù)，x1≠x2．設函數(shù)g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無極值點，其導函數(shù)g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足xf（x）為偶函數(shù)，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且當1≤x≤3時，f（x）=（2-x）3．
（1）求-1≤x≤0時，函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，那么y1=f(
π
3
)，y2=f(3x2+1)和y3=f(log2
1
4
)之間的大小關(guān)系為（　�。�

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