Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，．
（Ⅰ）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D是棱CC₁的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB₁C₁，試證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得BC⊥AC，BC⊥CC₁，從而可證BC⊥平面ACC₁A₁，則BC⊥A₁C；容易證明四邊形ACC₁A₁為正方形，即證A₁C⊥AC₁，由線面垂直的判定定理可證
（Ⅱ）要使DE∥平面AB₁C₁，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，只要證明平面EFD∥平面AB₁C₁，即證EF∥平面AB₁C₁，F(xiàn)D∥平面AB₁C₁，從而考慮，當(dāng)點E為棱AB的中點時，取BB₁的中點F，可證明
解答：證明：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴BC⊥CC₁．
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C
∵BC∥B₁C₁，則B₁C₁⊥A₁C．                                   …（4分）
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴．
∵，∴四邊形ACC₁A₁為正方形．
∴A₁C⊥AC₁．                                                   …（6分）
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁．                         …（7分）
（Ⅱ）當(dāng)點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁   …（9分）
證明如下：
如圖，取BB₁的中點F，連EF、FD、DE，
∵D、E、F分別為CC₁、AB、BB₁的中點，
∴EF∥AB₁．
∵AB₁⊆平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁
∴EF∥平面AB₁C₁．     …（12分）
同理可證FD∥平面AB₁C₁．
∵EF∩FD=F，
∴平面EFD∥平面AB₁C₁
∵DE?平面EFD，
∴DE∥平面AB₁C₁．         …（14分）
點評：本題主要考查空間中線面關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力