Question

設(shè)關(guān)于x的方程x²-（m+i）x-（2+i）=0，m是實(shí)數(shù)；
（1）若上述方程有實(shí)根，求出其實(shí)根以及此時(shí)實(shí)數(shù)m的值；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程不存在純虛數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）若上述方程有實(shí)根，由復(fù)數(shù)相等的條件可以得到關(guān)于實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)m的方程，解出即可
（2）可用反證法證明之，假設(shè)存在純虛根，解出矛盾即說(shuō)明不存在純虛根．

解答：解：（1）若方程有實(shí)根，將方程變?yōu)閕（-x-1）+x²-mx-2=0由此得

-x-1=0 x 2-mx-2=0

解得

x=-1 m=1

（2）證明：假設(shè)存在純虛根，令x=bi，b≠0
則有-b²-mbi+b-2-i=0，即有

-b2+b-2=0   ① -mb-1=0      ②

由于①無(wú)解
故假設(shè)不成立，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程不存在純虛數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的相等等基本概念，求解本題關(guān)鍵是掌握好復(fù)數(shù)相等的充要條件，以及反證法的思想．