【答案】
分析:(Ⅰ)先根據(jù)條件得到平面AEC⊥平面ABC;進(jìn)而得到BF⊥平面AEC,即可得到BF⊥DF;進(jìn)而根據(jù)條件得到DF⊥平面BEF即可證明結(jié)論;
(Ⅱ)先建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo),最后代入夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論.
解答:解:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185931690043256/SYS201310241859316900432018_DA/images0.png)
(Ⅰ)證明:∵AE⊥平面ABC,AE?平面AEC,
∴平面AEC⊥平面ABC,平面AEC∩平面ABC=AC,
BF?平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥平面AEC,DF?平面AEC,
∴BF⊥DF,
又∠ABC=3∠BAC=90°,∴BC=ACsin30°=4×
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=2,BF⊥AC,
∴CF=BCcos60°=1=CD,CD∥AE,AE⊥平面ABC,
∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AC,∴∠DFC=45°,
AF=AC-CF=3=AE,∴∠EFA=45°,
∴∠EFD=90°,即DF⊥EF,
BF∩EF=F,BF、EF?平面BEF,∴DF⊥平面BEF,
∴DF⊥BE.
(Ⅱ)過(guò)F作Fz∥AE,由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC,
又BF⊥AC,∴BF、AC、l兩兩垂直,
以F為原點(diǎn),F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
則F(0,0,0),
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,D(-1,0,1),E(3,0,3),
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,
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,
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,
由(Ⅰ)知
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是平面DEF的一個(gè)法向量,設(shè)
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是平面BDE的一個(gè)法向量,
則
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取z=2,得到
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,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185931690043256/SYS201310241859316900432018_DA/9.png)
,
∴二面角B-DE-F的平面角的余弦值為
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.
點(diǎn)評(píng):本題主要考察線線垂直的證明以及二面角的求法.一般在證明線線垂直時(shí),是轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)證.