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8.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+a2-1.
(1)若對任意的x∈R均有f(1-x)=f(1+x),求實數(shù)a的值;
(2)當(dāng)x∈[-1,1]時,求f(x)的最小值,用g(a)表示其最小值,判斷g(a)的奇偶性.

分析 (1)由f(1-x)=f(1+x),得到對稱軸為x=1,即可求出a的值,
(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),分類討論即可求出g(a),再根據(jù)奇偶性的定義即可判斷.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=x2+2ax+a2-1對任意的實數(shù)x都有f(1+x)=f(1-x)成立,
∴函數(shù)的對稱軸x=-a=1,
∴a=-1,
(2)∵f(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1,其對稱軸為x=-a,
當(dāng)-a≤-1時,即a≥1時,函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,故g(a)=f(x)min=f(-1)=a2-2a,
當(dāng)-1<-a<1時,即-1<a<1時,故g(a)=f(x)min=f(a)=-1,
當(dāng)-a≥1時,即a≤-1時,函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,故g(a)=f(x)min=f(1)=a2+2a,
∴g(a)={a22aa111a1a2+2aa1
∵g(-a)=g(a),
∴g(a)為偶函數(shù)

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題

練習(xí)冊系列答案
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編號123456
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體重/kg656472616767
由以上數(shù)據(jù),建立了身高x預(yù)報體重y的回歸方程ˆy=0.80x-71.6.那么,根據(jù)上述回歸方程預(yù)報一名身高為175cm的高三男生的體重是( �。�
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3.已知f(x)=ax3-3x2+1(a>0),定義h(x)=max{f(x),g(x)}=\left\{{\begin{array}{l}{f(x),f(x)≥g(x)}\\{g(x),f(x)<g(x)}\end{array}}
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(2)若g(x)=xf'(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若g(x)=lnx,試討論函數(shù)h(x)(x>0)的零點個數(shù).

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