Question

橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓左準(zhǔn)線與x軸交于E（-4，0），過E點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)（A在E，B之間）
（1）求橢圓方程；   （2）求△AOB面積的最大值； （3）設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為
F₁、F₂，若有，求實(shí)數(shù)λ，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，，，結(jié)合a²=b²+c²可求a，b，c，從而可求橢圓的方程
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不與y軸垂直，設(shè)直線l：x=my-4，聯(lián)立方程消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*），由△＞0可得|m|＞2=，原點(diǎn)O到直線l的距離，從而可求三角形的面積，利用基本不等式 可求面積的最大值
（3）由，可得AF₁∥BF₂，根據(jù)平行線分線段成比例可求
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：，（a＞b＞0，c²=a²-b²）
∵，
∴a=2，b²=3
所以橢圓的方程為
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不與y軸垂直，設(shè)直線l：x=my-4
聯(lián)立方程消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*）
由△＞0可得|m|＞2=
原點(diǎn)O到直線l的距離
所以△AOB的面積，令，m²=t²+4
則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最大值
（3）由，可得AF₁∥BF₂
∴=
實(shí)數(shù)λ=
點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系的考查，注意利用基本不等式求解最大值的應(yīng)用．