在(
x
+
1
2•
4x
n的展開式中,前三項系數(shù)成等差數(shù)列,求
(1)展開式中所有項的系數(shù)之和;
(2)展開式中的有理項;
(3)展開式中系數(shù)最大的項.
考點:二項式定理的應用,二項式系數(shù)的性質(zhì)
專題:二項式定理
分析:根據(jù)二項式定理,由已知求出指數(shù)n,然后采用賦值法求展開式所有系數(shù)之和;寫出通項求展開式的通項求有理項.
解答: 解:由題意知,2×
1
2
C
1
n
=1+
C
2
n
1
2
2解得n=8或者n=1舍去;
∴(1)令x=1,得展開式中所有項的系數(shù)之和為(1+
1
2
8=(
3
2
8;
(2)展開式的通項為
C
r
8
(
x
)8-r(
1
2
4x
)r=
1
2r
C
r
8
x4-
3
4
r
,令4-
3
4
r
為整數(shù),則r=0,4,8,
所以展開式中的有理項T1=x4,T5=
1
24
C
4
8
x=
35
8
x
,T9=
1
28
C
8
8
x-2=
1
256
x-2
;
(3)解
1
2r
C
r
8
1
2r-1
C
r-1
8
1
2r
C
r
8
1
2r+1
C
r+1
8
得2≤r≤3,
∴展開式中系數(shù)最大的項為T3=7x 
5
2
,T4=7x 
7
4
點評:本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,求展開式中某項的系數(shù),二項式系數(shù)的性質(zhì).
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m
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3
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3
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