Question

已知拋物線y²=4x，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，以下命題：
①若直線MN的傾斜角為

π

4

，則|MN|=10；
②

OM

•

ON

=5；
③過M，N分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為M₁，N₁，則M₁F⊥N₁F；
④連接M0，N0并延長(zhǎng)分別交拋物線的準(zhǔn)線于P，0兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓過焦點(diǎn)F．
其中真命題的序號(hào)為

③④

．

Answer 1

分析：①設(shè)直線MN的方程為y=x-1，代入y²=4x，可得|MN|=8；
②斜率不存在時(shí)，結(jié)論就不成立；
③設(shè)直線MN的方程為x=my+1代入y²=4x，驗(yàn)證

M1F

•

N1F

=0，即可得到結(jié)論；
④驗(yàn)證

FP

•

FQ

=(-2，-

y1

x1

)•(-2，-

y2

x2

)=0，可得結(jié)論．

解答：解：①設(shè)直線MN的方程為y=x-1，代入y²=4x得x²-6x+1=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MN|=

2

|x1-x2|=

2

•

36-4

=8，即①不正確；
②斜率不存在時(shí)，M（1，2），N（1，-2），

OM

•

ON

=1-4=-3，∴②不正確；
③設(shè)直線MN的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
將x=my+1代入y²=4x（p＞0）消去x可得y²-4my-4=0    
從而有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，x₁x₂=1
∵

M1F

=（2，-y₁），

N1F

=（2，-y₂），
∴

M1F

•

N1F

=（2，-y₁）•（2，-y₂）=0，故有M₁F⊥N₁F，即③正確；
④直線MO的方程為y=

y1

x1

x，x=-1時(shí)，y=-

y1

x1

，∴P(-1，-

y1

x1

)
同理Q(-1，-

y2

x2

)
∴

FP

=(-2，-

y1

x1

)，

FQ

=（-2，-

y2

x2

）
∴

FP

•

FQ

=(-2，-

y1

x1

)•(-2，-

y2

x2

)=0，
∴以PQ為直徑的圓過焦點(diǎn)F，即④正確
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．