已知a>1,命題p:a(x-2)+1>0,命題q:(x-1)2>a(x-2)+1>0.若命題p、q同時(shí)成立,求x的取值范圍.
分析:命題p、q同時(shí)成立,說(shuō)明不等式組
a(x-2)+1>0
(x-1)2>a(x-2)+1.
解集為非空集合,化簡(jiǎn)整理得
x>2-
1
a
(x-a)(x-2)>0
.接下來(lái)分三種情況加以討論:①當(dāng)1<a<2時(shí),有
x>2-
1
a
x>2或x<a
,結(jié)合a>2-
1
a
,可得此時(shí)x的取值范圍為(2-
1
a
,a)∪(2,+∞);②當(dāng)a=2時(shí),易得此時(shí)x的取值范圍為(
3
2
,2)∪(2,+∞);③當(dāng)a>2時(shí),對(duì)照①的分析,可得此時(shí)x的取值范圍為(2-
1
a
,2)∪(a,+∞).
解答:解:依題意,命題p、q同時(shí)成立,說(shuō)明不等式組
a(x-2)+1>0
(x-1)2>a(x-2)+1.
解集為非空集合,
ax>2a-1
(x-1)2-a(x-2)-1>0
解集非空,結(jié)合已知條件a>1,解得
x>2-
1
a
(x-a)(x-2)>0.
(4分)
①當(dāng)1<a<2時(shí),則有
x>2-
1
a
x>2或x<a
,
而a-(2-
1
a
)=a+
1
a
-2>0,即a>2-
1
a
,
∴不等式組的解為:x>2或2-
1
a
<x<a.
因此,此時(shí)x的取值范圍為(2-
1
a
,a)∪(2,+∞).(6分)
②當(dāng)a=2時(shí),則x>
3
2
且x≠2,此時(shí)x的取值范圍為(
3
2
,2)∪(2,+∞).(8分)
③當(dāng)a>2時(shí),則有
x>2-
1
a
x>a或x<2.
⇒x>a或2-
1
a
<x<2.(10分)
因此,此時(shí)x的取值范圍為(2-
1
a
,2)∪(a,+∞).(12分)
點(diǎn)評(píng):本題以復(fù)合命題的真假判斷為載體,著重考查了不等式的同解變形、含有字母參數(shù)的不等式組的解法等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>1,命題P:a (x-2)+1>0,命題Q:
a-2x-2
<1,求使命題P與命題Q都成立的x的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知a>1,命題P:a (x-2)+1>0,命題Q:
a-2
x-2
<1,求使命題P與命題Q都成立的x的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:山東省模擬題 題型:解答題

已知a>1,命題p:a(x-2)+1>0,命題q:(x-1)2>a(x-2)+1>0.若命題p、q同時(shí)成立,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年山東省濰坊市三縣高三(上)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知a>1,命題p:a(x-2)+1>0,命題q:(x-1)2>a(x-2)+1>0.若命題p、q同時(shí)成立,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案