Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=e處的切線方程；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（3）求函數(shù)f（x） 在[1，e]上 的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（e），f′（e）的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，討論m的范圍，當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)m＞0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
f（e）=1-e，f′（e）=$\frac{1}{e}$-1，
故切線方程是：y-1+e=（$\frac{1}{e}$-1）（x-e），
即y=（$\frac{1}{e}$-1）x；
（2）a=2時(shí)，f（x）=lnx-2x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
故f（x）_極大值=f（$\frac{1}{2}$）=-1-ln2；
（3）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，
則單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)減區(qū)間；
故f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
f_max（x）=f（e）=lne-me=1-ae，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得 0＜x＜$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，得x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
①若0＜$\frac{1}{a}$≤1，即m≥1時(shí)，f_max（x）=f（1）=-m，
②若1＜$\frac{1}{a}$＜e，即$\frac{1}{e}$＜a＜1時(shí)，f_max（x）=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1=-lna-1，
③若$\frac{1}{a}$≥e，即a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，f_max（x）=f（e）=lne-ae=1-ae，
綜上：當(dāng)a≤$\frac{1}{e}$，f_max（x）=1-ae，$\frac{1}{e}$＜a＜1時(shí)，f_max（x）=-lna-1，
a≥1時(shí)，f_max（x）=f（1）=-a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．