Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為A₁B₁和BB₁的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成的角為（ ）

A．a(chǎn)rccos
B．a(chǎn)rccos
C．a(chǎn)rccos
D．a(chǎn)rccos

Answer 1

【答案】分析：解法一：
求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余弦定理來(lái)求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解．本題可采用向量方法求解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214029161184656/SYS201310232140291611846005_DA/0.png">=+，=+，所以•=．而||=．同理，||=．
則由數(shù)量積運(yùn)算即可得直線AM與CN所成的角的大�。�
解法二：
分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）．所以=（0，，1），=（1，0，）．故•=，||=，||=．
則由數(shù)量積運(yùn)算即可得直線AM與CN所成的角的大�。�
解答：解：法一：∵=+，=+，
∴•=（+）•（+）=•=．
而||====．
同理，||=．
如令α為所求之角，則cosα===，∴α=arccos．
故選D．
法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，
分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，
則A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）．
∴=（0，，1），=（1，0，）．
故•=0×1+×0+1×=，
||==，
||==．
∴cosα===．
∴α=arccos．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線所成的角，空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力．