已知函數(shù)f(x)=axlnx(a≠0).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值;
(Ⅱ)若m>0,n>0,a>0,證明:f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.
分析:(Ⅰ)f'(x)=alnx+a(x>0),當(dāng)a>0時(shí)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為
[,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為
(0,].當(dāng)a<0時(shí)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為
(0,],單調(diào)遞減區(qū)間為
[,+∞).
(Ⅱ)
g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln(x>0)可得
g′(x)=alnx+a-aln-a=aln可以證得g'(x)≤0,∴g(x)是減函數(shù),
∴g(x)≥g(m)=0
解答:(Ⅰ)∵f'(x)=alnx+a(x>0),
當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)≥0,即lnx≥-1=lne
-1.
∴
x≥e-1=.,∴
x∈[,+∞).
同理,令f'(x)≤0,可得
x∈(0,].
∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為
[,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為
(0,].
由此可知
y=f(x)min=f()=-.無最大值.
當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)≥0,即lnx≤-1=lne
-1.∴
x≤e-1=.,∴
x∈(0,].
同理,令f'(x)≤0可得
x∈[,+∞).
∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為
(0,],單調(diào)遞減區(qū)間為
[,+∞).
由此可知
y=f(x)max=f()=-.此時(shí)無最小值.
(Ⅱ)不妨設(shè)m≥n>0,令n=x,
記
g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln(x>0)g′(x)=alnx+a-aln-a=aln∵
m+x≥2x∴≤1,∴
aln≤0,
∴g'(x)≤0,∴g(x)是減函數(shù),
∵m≥x>0,∴g(x)≥g(m)=0∴
g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln≥0,即得證.
點(diǎn)評(píng):解決此類問題的關(guān)鍵是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論其中的參數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到函數(shù)的最值,證明不等式一般是抽象出一個(gè)新的函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明,研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、證明不等式是解答題考查的一個(gè)重點(diǎn).