Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，證明：f（m）+f（n）≥f（m+n）-a（m+n）ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=alnx+a（x＞0），當(dāng)a＞0時(shí)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

e

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

e

]．當(dāng)a＜0時(shí)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

e

]，單調(diào)遞減區(qū)間為[

1

e

，+∞)．
（Ⅱ）g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln

m+x

2

(x＞0)可得g′(x)=alnx+a-aln

m+x

2

-a=aln

2x

m+x

可以證得g'（x）≤0，∴g（x）是減函數(shù)，
∴g（x）≥g（m）=0

解答：（Ⅰ）∵f'（x）=alnx+a（x＞0），
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．
∴x≥e-1=

1

e

．，∴x∈[

1

e

，+∞)．
同理，令f'（x）≤0，可得x∈(0，

1

e

]．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

e

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

e

]．
由此可知y=f(x)min=f(

1

e

)=-

a

e

．無最大值．
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）≥0，即lnx≤-1=lne^-1．∴x≤e-1=

1

e

．，∴x∈(0，

1

e

]．
同理，令f'（x）≤0可得x∈[

1

e

，+∞)．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

e

]，單調(diào)遞減區(qū)間為[

1

e

，+∞)．
由此可知y=f(x)max=f(

1

e

)=-

a

e

．此時(shí)無最小值．
（Ⅱ）不妨設(shè)m≥n＞0，令n=x，
記g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln

m+x

2

(x＞0)
g′(x)=alnx+a-aln

m+x

2

-a=aln

2x

m+x

∵m+x≥2x∴

2x

m+x

≤1，∴aln

x-m

m+x

≤0，
∴g'（x）≤0，∴g（x）是減函數(shù)，
∵m≥x＞0，∴g（x）≥g（m）=0∴g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln

m+x

2

≥0，即得證．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論其中的參數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到函數(shù)的最值，證明不等式一般是抽象出一個(gè)新的函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、證明不等式是解答題考查的一個(gè)重點(diǎn)．