Question

設函數(shù)f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接運用點到直線的距離公式，然后求解即可得到答案．
（2）關于由不等式解集整數(shù)的個數(shù)，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉化為求函數(shù)零點的問題，即可求解．（3）屬于新定義的題目，可以用函數(shù)求導數(shù)求最值的方法解答．
解答：解：（1）因為f（x）=a²x²，所以f′（x）=2a²x，令f′（x）=2a²x=1
得：，此時，
則點到直線x-y-3=0的距離為，
即，解之得．
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，
等價于（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個整數(shù)解，故1-a²＜0，
令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0），
所以函數(shù)h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一個零點在區(qū)間（0，1），
則另一個零點一定在區(qū)間（-3，-2），這是因為此時不等式解集中有-2，-2，0恰好三個整數(shù)解
故解之得．
（3）設，
則．
所以當時，F(xiàn)′（x）＜0；當時，F(xiàn)′（x）＞0．
因此時，F(xiàn)（x）取得最小值0，
則f（x）與g（x）的圖象在處有公共點．
設f（x）與g（x）存在“分界線”，
方程為，即，
由在x∈R恒成立，
則在x∈R恒成立．
所以成立，
因此．
下面證明恒成立．
設，則．
所以當時，G′（x）＞0；當時，G′（x）＜0．
因此時G（x）取得最大值0，則成立．
故所求“分界線”方程為：．
點評：此題主要考查點到直線距離公式的應用及利用導函數(shù)求閉區(qū)間極值問題，題中涉及到新定義的問題，此類型的題目需要仔細分析再求解，綜合性較強，有一定的技巧性，屬于難題．