Question

（2010•湖北模擬）美國華爾街的次貸危機(jī)引起的金融風(fēng)暴席卷全球，低迷的市場造成產(chǎn)品銷售越來越難，為此某廠家舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P萬件與促銷費用x萬元（x≥0）滿足P=3-

2

x+k

（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，該產(chǎn)品的銷售只能是一萬件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入是10萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入2萬元，產(chǎn)品的銷售價格定為該產(chǎn)品的平均成本（不含促銷費用）的2倍．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x=0時，P=1萬件可求出k的值，然后根據(jù)產(chǎn)品的利潤=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（2）利用基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件．

解答：解：（1）由題意知x=0時，P=1萬件，
即1=3-

2

k

⇒k=1，∴P=3-

2

x+1

…（2分）
該產(chǎn)品售價為2×(

10+2P

P

)萬元，y=2×(

10+2P

P

)•P-10-2P-x…（4分）
代入化簡得   y=17-(

4

x+1

+x+1)，（x≥0）…（6分）
（2）y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 •(x+1)

=13…（9分）
當(dāng)

4

x+1

=x+1，即x=1時，上式取等號                   …（11分）
所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大．           …（12分）

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．