Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切于點(diǎn)（1，0）
（1）求直線l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據(jù)直線l與g（x）的圖象相切，所以g（x）在點(diǎn)（1，0）的導(dǎo)函數(shù)值為1，建立方程組，解之即可求出g（x）的解析式；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)h（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值．

解答：解：（1）直線l是函數(shù)f（x）=lnx在點(diǎn)（1，0）處的切線，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直線l的方程為y=x-1．（2分）
又因?yàn)橹本�l與g（x）的圖象相切，
所以g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在點(diǎn)（1，0）的導(dǎo)函數(shù)值為1．

g(1)=0 g′(1)=1

?

m=-1 n= 1 6

所以g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

（6分）

（2）因?yàn)閔（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）（7分）
所以h′(x)=

1

x

-2x-1=

1-2x2-x

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

（9分）
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，h′（x）＜0（11分）
因此，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，h（x）取得最大值h(

1

2

)=

1

4

-ln2（12分）
所以函數(shù)h（x）的值域是(-∞，

1

4

-ln2]．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于基礎(chǔ)題．