Question

求下列函數(shù)的定義域和值域：
(1)y=

3x

4x-1

；        
 (2)y=

1

x2-2x-3

．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)定義域只要滿足分母不為0即可，值域運用函數(shù)的圖象變化，把原函數(shù)向分母靠，變?yōu)?span id="avsix1h" class="MathJye">

a

f(x)

+b的形式；
（2）函數(shù)的定義域只要分式的分母不為0即可，求值域時先求出分母的取值范圍，然后求其倒數(shù)的范圍．

解答：解：（1）要使函數(shù)f(x)=

3x

4x-1

有意義，需要4x-1≠0，即x≠

1

4

，所以原函數(shù)定義域為{x|x≠

1

4

}．
由于y=

3x

4x-1

=

3 4 (4x-1)+ 3 4

4x-1

=

3

4(4x-1)

+

3

4

，
而

3

4(4x-1)

≠0，所以y≠

3

4

，所以原函數(shù)值域為{y|y≠

3

4

}．
（2）要使原函數(shù)有意義，則需x²-2x-3≠0，即x≠-1，x≠3，
所以原函數(shù)的定義域為{x|x≠-1，x≠3}．
因為x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，所以y∈(-∞，-

1

4

]∪(0，+∞)．
所以函數(shù)值域為(-∞，-

1

4

]∪(0，+∞)．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其值域的求解方法，考查了函數(shù)的平移變化，考查了二次函數(shù)值域的求法，同時還考查了極限思想，屬綜合體．