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8.已知函數(shù)f(x)=ln(x+x2+1),若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足f(2a)+f(b-1)=0,則1a+1的最小值是22+3.

分析 可判斷f(x)=ln(x+x2+1)在其定義域上是增函數(shù)且是奇函數(shù),從而可得2a+b=1;從而化簡(jiǎn)1a+1=\frac{a}+2a+3,從而利用基本不等式求最小值.

解答 解:∵f(x)=ln(x+x2+1),
f(-x)=ln(-x+x2+1),
∴f(x)+f(-x)
=ln[(x+x2+1)(-x+x2+1)]
=ln1=0,
∴函數(shù)f(x)=ln(x+x2+1)為R上的奇函數(shù),
又y=x+x2+1在其定義域上是增函數(shù),
故f(x)=ln(x+x2+1)在其定義域上是增函數(shù),
∵f(2a)+f(b一1)=0,
∴2a+b-1=0,
故2a+b=1;
1a+1=2a+ba+2a+b
=2+\frac{a}+2a+1
=a+2a+3
≥22+3.
(當(dāng)且僅當(dāng)a=2a,即a=222,b=2-1時(shí),等號(hào)成立),
故答案為:22+3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷與應(yīng)用.

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