給出定義在(0,+∞)上的三個函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-mf(x),數(shù)學(xué)公式,已知g(x)在x=1處取極值.
(1)求m的值及函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當x∈(1,e2)時,恒有數(shù)學(xué)公式>x成立.

解:(1)由題設(shè)g(x)=x2-mlnx,則,
由已知g′(1)=0,即2-m=0,則m=2,
于是,則,
>0時,x>1,
<0時,0<x<1,
∴h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù).
(2)當x∈(1,e2)時,0<lnx<2,即0<f(x)<2,
欲證,只需證x[2-f(x)]<2+f(x),
即證f(x)
設(shè)F(x)=f(x)-=lnx-
=,
當1<x<e2時,F(xiàn)′(x)>0,
∴F(x)在區(qū)間(1,e2)上為增函數(shù),
從而當x∈(1,e2)時,F(xiàn)(x)>F(1)=0,
即f(x)>,

分析:(1)由題設(shè)g(x)=x2-mlnx,則,由已知g′(1)=0,得m=2,于是,由此能求出m的值及函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)當x∈(1,e2)時,0<lnx<2,欲證,只需證x[2-f(x)]<2+f(x),即證f(x).由此能夠證明當x∈(1,g2)時,恒有>x成立.
點評:本題考查求m的值及求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間和不等式的證明.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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給出定義在(0,+∞)上的三個函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,已知g(x)在x=1處取極值.
(1)確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性;
(2)求證:當1<x<e2時,恒有x<
2+f(x)
2-f(x)
成立.

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x
,已知g(x)在x=1處取極值.
(1)求m的值及函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當x∈(1,e2)時,恒有
2+f(x)
2-f(x)
>x成立.

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