如圖，三棱錐P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點(diǎn)

（1）若PA＝2，求直線AE與PB所成角的余弦值；

（2）若PA，求證：平面ADE⊥平面PBC

 

【答案】

（1），；（2） 

【解析】

試題分析：(1)首先建立空間直角坐標(biāo)系，給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求解；(2) 利用空間向量求解平面的法向量，然后根據(jù)法向量互相垂直可證明

試題解析：（1）如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接BF，則BF⊥AC 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，

從而＝(，1， 2)， ＝(0，1，1)  

設(shè)直線AE與PB所成角為θ，

則cosθ＝||＝

即直線AE與PB所成角的余弦值為                        5分

（2）如上圖，則

A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，1，)，

設(shè)平面PBC的法向量為，則

令，則，所以

同理可求平面ADE的法向量

所以，即

于是平面ADE⊥平面PBC

考點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系、空間向量、線線角以及面面垂直的證明

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點(diǎn)，設(shè)
|
PM|
|PC
|
=λ，問λ為何值時(shí)能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2
2
．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•德陽二模）如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，BC=2，則P-ABC的外接球的表面積為
6π
6π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2
3
，∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC． （2）設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案