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15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1ab0的左,右焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0).點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓C在x軸上方的動點(diǎn),且△PF1F2的周長為16.
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)點(diǎn)Q到△PF1F2三邊的距離均相等.當(dāng)x0=3時,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

分析 (Ⅰ)由題意可得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)求出P點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出Q的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)Q到△PF1F2三邊的距離均相等列方程組求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解答 解:(Ⅰ)依題意,c=3,2a+2c=16,∴a=5,
從而b2=a2-c2=16,
故橢圓方程為x225+y216=1;
(Ⅱ)當(dāng)x0=3時,y0=1650,則直線PF1的方程為:8x-15y+24=0,
直線PF2的方程為:x=3,
設(shè)Q(x,y),則|8x15y+24|17=y,且y=3-x,其中8x-15y+24>0,
解得x=95,y=65,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為9565

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,屬中檔題.

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