Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-mlnx（m∈R，且m為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=x-

m

x

=

x2-m

x

，①若m≤0，則f′（x）＞0，易得單調(diào)遞增；②若m＞0，由f′（x）=

x2-m

x

=0易得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

m

）單調(diào)遞減，在區(qū)間（

m

，+∞）單調(diào)遞增；
（2）①若m≤1，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小為f（1）；②若1＜m＜e²，函數(shù)f（x）在（1，

m

）上單調(diào)遞減，在（

m

，e）上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小為f（

m

）；③若m≥e²，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，函數(shù)的最小為f（e）

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-mlnx，（x＞0），
∴f′（x）=x-

m

x

=

x2-m

x

，
①若m≤0，則f′（x）=

x2-m

x

＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增；
②若m＞0，由f′（x）=

x2-m

x

=0可得x=

m

，
故當(dāng)x∈（0，

m

）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

m

，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

m

）單調(diào)遞減，在區(qū)間（

m

，+∞）單調(diào)遞增；
（2）①若m≤1，則當(dāng)x∈[1，e]時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的最小為f（1）=

1

2

；
②若1＜m＜e²，則當(dāng)x∈（1，

m

）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

m

，e）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（1，

m

）上單調(diào)遞減，在（

m

，e）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的最小為f（

m

）=

m

2

-

m

2

lnm；
③若m≥e²，則當(dāng)x∈[1，e]時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的最小為f（e）=

e2

2

-m

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)閉區(qū)間上的單調(diào)性和最值，分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．