Question

如圖，把邊長(zhǎng)為40cm的正方形鐵皮的四角邊去邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)相同的正方形，然后折成一個(gè)高度為xcm的無蓋的長(zhǎng)方體的盒子，要求長(zhǎng)方體的高度與底面邊長(zhǎng)的比值不超過常數(shù)k（k＞0），問x取何值時(shí)，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

解 由題意得，函數(shù)V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）^2_·x，
且 ，定義域?yàn)?（0，]．
函數(shù)V的導(dǎo)數(shù) V′（x）=12x²﹣320x+400，
令 V′=0可得，x=，或 x=（舍去）．
當(dāng)≤ 時(shí)，導(dǎo)數(shù) V′在x= 的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，
故當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）^2_·x 取得最大值，
且最大值為V（）．
當(dāng)＞ 時(shí)，由于當(dāng) 0＜x＜時(shí)，V′（x）＞0，
函數(shù)V（x）在（0，]是增函數(shù)，
故當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）^2_·x 取得最大值，
且最大值為V（）．