Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．又設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明：直線AE與x軸相交于定點Q；
（3）求的取值范圍．

Answer 1

（1）解：∵以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，
∴b=，
∵橢圓的離心率為，
∴
∴，∴，
∴橢圓C的方程為
（2）證明：設A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀）
將直線PB：y=代入橢圓，可得[3+]x²-+-12=0
設E（x₁，y₁），則x₁+x₀===
∴，∴y₁=
∴直線AE：
化簡可得
∴直線AE與x軸相交于定點Q：（1，0）
（3）解：由（2）知x₁+x₀=，x₁x₀=，y₁y₀==
∵=x₁x₀-y₁y₀，
∴=-=
設5-2x₀=t，∵x₀∈（-2，2），∴t∈（1，9）
∴=-+
∵t∈（1，9），∴
∴（-4，]
分析：（1）利用以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，可求b的值，再利用橢圓的離心率為，即可求出橢圓C的方程；
（2）設A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），將直線PB：y=代入橢圓，可得[3+]x²-+-12=0，從而可得E的坐標，從而可得直線AE的方程，進而可知直線AE與x軸相交于定點Q；
（3）由（2）知x₁+x₀=，x₁x₀=，y₁y₀==，=x₁x₀-y₁y₀，從而可得=，設5-2x₀=t，進而可確定的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線恒過定點，考查向量知識的運用，同時考查學生分析解決問題的能力與計算能力．