Question

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：

(1)sin²13°＋cos²17°－sin13°cos17°；

(2)sin²15°＋cos²15°－sin15°cos15°；

(3)sin²18°＋cos²12°－sin18°cos12°；

(4)sin²(－18°)＋cos²48°－sin(－18°)cos48°；

(5)sin²(－25°)＋cos²55°－sin(－25°)cos55°.

(1)請(qǐng)根據(jù)(2)式求出這個(gè)常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

（證明步驟盡可能詳細(xì)！）

Answer 1

解：解法一：

(1)計(jì)算如下：

sin²15°＋cos²15°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝…………..3分

(2)三角恒等式為sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝……….7分

證明如下：

sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝sin²α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)²－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)…….10分

＝sin²α＋cos²α＋sinαcosα＋sin²α－sinαcosα－sin²α

＝sin²α＋cos²α＝……………………………….13分

解法二：

(1)同解法一．

(2)三角恒等式為sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝…….7分

證明如下：

sin²α＋cos²(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)………10分

＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin²α

＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)

＝1－cos2α－＋cos2α＝…………………13分