Question

【題目】如圖，在正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，點Q為BC的中點．

（1）求證：平面AQC1⊥平面B1BCC1；

（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）先證明AQ⊥平面B1BCC1，由面面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面AQC1的一個法向量，求出，求出后即可得解.

（1）證明：由題意知：AB＝AC，Q為BC的中點，∴AQ⊥BC，

由B1B⊥平面ABC得B1B⊥AQ，

∵BC，B1B平面B1BCC1，且BC∩B1B＝B，

∴AQ⊥平面B1BCC1，又∵AQ平面AC1Q，

∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1．

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．

∵AB＝AA1＝2，

∴A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），

A1（0，﹣1，2），B1（），C1（0，1，2），Q（，，0），

∴，，．

設(shè)為平面AQC1的一個法向量，

則，即，取y＝﹣1，則，，，

設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ，

則span>，

∵，∴，

∴，

∴直線CC1與平面AQC1所成角的正切值為．