Question

已知函數(shù)f（x）=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

（1）當x≤0時，解不等式f（x）≥-1；
（2）寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,其他不等式的解法

專題：計算題,數(shù)形結合,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由x≤0時的函數(shù)表達式，通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式即可；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象觀察即可；
（3）作出直線y=m，函數(shù)g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點等價于函數(shù)y=m與函數(shù)f（x）的圖象恰有三個不同公共點．由圖象觀察即可得到．

解答： 解：（1）當x≤0時，f(x)=2-(

1

3

)x≥-1，
解得x≥-1，
綜上，-1≤x≤0，
故解集為[-1，0]；
（2）函數(shù)f（x）的圖象如右圖，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），
單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）及（1，+∞）；
（3）作出直線y=m，
函數(shù)g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點等價于
函數(shù)y=m與函數(shù)f（x）的圖象恰有三個不同公共點．
由函數(shù)f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

又f（0）=1，f(1)=

1

2

，
∴m∈(

1

2

，1)．

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的圖象交點個數(shù)，注意運用數(shù)形結合的思想方法，是迅速解題的關鍵．