如圖,在三棱錐中,,,,設(shè)頂點(diǎn)A在底面上的射影為R.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在棱上,且,試求二面角的余弦值.
(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)借助幾何體的中線面垂直,證明BCDE為正方形,達(dá)到證明線線垂直的目的;(Ⅱ)方法一利用定義法做出二面角,通過(guò)解三角形求解二面角的平面角;方法二建立利用空間向量法,通過(guò)兩個(gè)半平面的法向量借助夾角公式求解.
試題解析:證明:方法一:由平面,得,
又,則平面,
故, 3分
同理可得,則為矩形,
又,則為正方形,故. 5分
方法二:由已知可得,設(shè)為的中點(diǎn),則,則平面,故平面平面,則頂點(diǎn)在底面上的射影必在,故.
(Ⅱ)方法一:由(I)的證明過(guò)程知平面,過(guò)作,垂足為,則易證得,故即為二面角的平面角, 8分
由已知可得,則,故,則,
又,則, 10分
故,即二面角的余弦值為 12分
方法二: 由(I)的證明過(guò)程知為正方形,如圖建立坐標(biāo)系,
則,,,可得, 8分
則,,易知平面
的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則由得 10分
則,即二面角的余弦值為. 12分
考點(diǎn):1.垂直關(guān)系的證明;2.二面角;3.空間向量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆廣西玉林市高二下學(xué)期三月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形,,為中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值. (本題12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,在三棱錐中, 兩兩垂直且相等,過(guò)的中點(diǎn)作平面∥,且分別交于,交的延長(zhǎng)線于.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011---2012學(xué)年四川省高二10月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖:在三棱錐中,已知點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)若,,求證:平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:黑龍江省2013屆高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,,為中點(diǎn)。(1)求證:平面
(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使二面角的平面角的余弦值為?若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說(shuō)明理由。
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