Question

如圖，在三棱錐中，，，，設(shè)頂點(diǎn)A在底面上的射影為R．

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且，試求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助幾何體的中線面垂直，證明BCDE為正方形，達(dá)到證明線線垂直的目的；（Ⅱ）方法一利用定義法做出二面角，通過(guò)解三角形求解二面角的平面角；方法二建立利用空間向量法，通過(guò)兩個(gè)半平面的法向量借助夾角公式求解.

試題解析：證明：方法一：由平面，得，

又，則平面，

故，                 3分

同理可得，則為矩形，

又，則為正方形，故．         5分

方法二：由已知可得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則平面，故平面平面，則頂點(diǎn)在底面上的射影必在，故．

（Ⅱ）方法一:由（I）的證明過(guò)程知平面，過(guò)作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角，            8分

由已知可得，則，故，則，

又，則，               10分

故，即二面角的余弦值為 12分

方法二: 由（I）的證明過(guò)程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，

則，，，可得，       8分

則，，易知平面

的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得         10分

則，即二面角的余弦值為．     12分

考點(diǎn)：1.垂直關(guān)系的證明;2.二面角;3.空間向量.