Question

設(shè)數(shù)列{an}共有n（）項，且，對每個i (1≤i≤，iN)，均有

．

（1）當時，寫出滿足條件的所有數(shù)列{an}（不必寫出過程）；

（2）當時，求滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)．

 

Answer 1

（1）共有3個：； 1，1，1； 1，2，1;（2）數(shù)列{an}的個數(shù)為393．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可得當時，有，因為題中要求，，也就是說，，這樣即可得或或，故此時滿足條件的數(shù)列{an}共有3個：； 1，1，1； 1，2，1;（2）由題中要求可聯(lián)想到令bi＝ (1≤i≤7)，則對每個符合條件的數(shù)列{an}，滿足條件：，且bi∈ (1≤i≤7)，則此時可設(shè)符合條件的數(shù)列{bn}的個數(shù)為N， bi (1≤i≤7)中有k個2；從而有k個，7－2k個1，當k給定時，{bn}的取法有種，故此時．

試題解析：（1）當時，．

因為，，即，，

所以或或．

故此時滿足條件的數(shù)列{an}共有3個：； 1，1，1； 1，2，1． 3分

（2）令bi＝ (1≤i≤7)，則對每個符合條件的數(shù)列{an}，滿足條件：

，且bi∈ (1≤i≤7)．

反之，由符合上述條件的7項數(shù)列{bn}可唯一確定一個符合條件的8項數(shù)列{an}． 7分

記符合條件的數(shù)列{bn}的個數(shù)為N．

顯然，bi (1≤i≤7)中有k個2；從而有k個，7－2k個1．

當k給定時，{bn}的取法有種，易得k的可能值只有0，1，2，3，

故．

因此，符合條件的數(shù)列{an}的個數(shù)為393． 10分

考點：1.數(shù)列的遞推關(guān)系;2.排列組合的應(yīng)用;3.代數(shù)式的處理