Question

如圖，三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點(diǎn).

   （Ⅰ）求證：AB₁ // 面BDC₁；

　 （Ⅱ）求二面角C₁―BD―C的余弦值；

   （Ⅲ）在側(cè)棱AA­₁上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC₁？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，則O為B₁C的中點(diǎn)，

∵D為AC中點(diǎn)   

∴OD∥B₁A

又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

∴B₁A∥平面BDC₁

  （2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

∴CC₁⊥面ABC

則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系 則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)

∴

設(shè)平面的法向量為

則

又平面BDC的法向量為

∴二面角C₁―BD―C的余弦值：cos

（Ⅲ）設(shè)P(h,2,0)   則

若CP⊥面BDC₁   則_∥   即（2,0, h）=λ(2,-6,3)

此時(shí)λ不存在

∴在側(cè)棱AA­₁上不存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC₁。