已知函數(shù)f(x)=x(x-2)2+1,x∈R
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上的最大值.
解:(1)f(x)=x
3-4x
2+4x+1
∵f'(x)=3x
2-8x+4=(3x-2)(x-2),
∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16999.png)
和(2,+∞),f(x)的單調遞減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17659.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1282.png)
為f(x)的極大值點,極大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536311.png)
x=2為f(x)的極小值點,極小值為f(2)=1.(7分)
(2)①當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536312.png)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/402688.png)
時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上遞增,
∴f(x)
max=f(t+2)=t
3+2t
2+1;
②當
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即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536314.png)
時,
函數(shù)f(x)在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536315.png)
上遞增,在區(qū)間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536316.png)
上遞減,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536317.png)
;
③當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536318.png)
時,f(x)
max=max{f(t),f(t+2)},
令f(t)≥f(t+2),則t(t-2)
2≥(t+2)t
2,t(6t-4)≤0,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536319.png)
,
所以當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536318.png)
,f(t)<f(t+2),f(x)
max=f(t+2)=t
3+2t
2+1,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536320.png)
.
分析:(1)把f(x)化簡后,求出f(x)的導函數(shù),令導函數(shù)大于0列出不等式,求出不等式的解集即為函數(shù)的增區(qū)間;令導函數(shù)小于0列出不等式,求出不等式的解集即為函數(shù)的減區(qū)間,根據函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的極值;
(2)分三種情況:x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
在區(qū)間[t,t+2]的左邊,右邊及中間,根據(1)中求出函數(shù)的單調區(qū)間,利用函數(shù)的單調性即可求出相應的t范圍中函數(shù)的最大值,聯(lián)立即可得到f(x)最大值與t的分段函數(shù)關系式.
點評:此題考查學生會利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,是一道綜合題.