Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）求函數(shù)的定義域，并求出當(dāng)時(shí)，常數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；

（3）設(shè)，若方程有實(shí)根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定義域?yàn)?/span>或，（2）在的單調(diào)遞增，見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）解不等式得出該函數(shù)的定義域，由結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出；

（2）利用定義以及不等式的性質(zhì)證明單調(diào)性即可；

（3）將方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸的位置，求出的取值范圍.

解：（1）由且

知

∴或

∴定義域?yàn)?/span>或

由得

∴

∵

∴

（2）由（1），判斷在的單調(diào)遞增

證明：設(shè)，則

∴，即

∴

∴在的單調(diào)遞增.

（3）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

∵有實(shí)根，在有實(shí)根

在有實(shí)根

化簡(jiǎn)整理得，方程在上有解

設(shè) 對(duì)稱(chēng)軸.

①即且

∵且在為增函數(shù)，所以方程在無(wú)解.

②，即

則，即，解得

綜上.